Otto sportelli per la Sardegna
I capoluoghi di provincia sono quasi perfetti per il sardo medio. Per quello che sta peggio, no: spostando gli stessi otto sportelli si taglia un quarto d'ora al viaggio più lungo.
- Metodo
- Localizzazione di servizi p-median e p-center su tempi stradali reali
- Strumenti
- Python, Gurobi, HiGHS, OSRM
- Fonte dati
- ISTAT — matrice del pendolarismo 2011 (origine-destinazione) · ISTAT — confini amministrativi dei comuni · GeoNames — centri abitati e popolazione (CC-BY) · OSRM — motore di calcolo percorsi su OpenStreetMap
- Risultato
- −16,5% — il tempo di viaggio del sardo più isolato, a parità di otto sportelli
Ogni volta che una regione accorpa un servizio — sportelli unici, centri per l’impiego, punti prelievo, motorizzazione — deve rispondere a due domande: quanti presidi, e dove. La prima è di bilancio. La seconda è un problema di ottimizzazione vecchio di sessant’anni, e ha una risposta precisa non appena si mettono insieme tre cose: dove abita la gente, quanto ci mette ad arrivare, e quanti punti ci si può permettere.
La Sardegna è un banco di prova quasi da manuale: un’isola, quindi un sistema chiuso; una popolazione concentrata sulle coste e attorno a Cagliari; e un interno montuoso e spopolato dove le strade curvano.
Con otto sportelli regionali piazzati nei capoluoghi storici di provincia, quanti minuti di auto separano il sardo medio dallo sportello più vicino?
Prova a dire un tempo
22,4 minuti
Sorprendentemente vicino all'ottimo: i capoluoghi stanno dove sta la gente. Il problema non è la media, è chi resta indietro.
01La sfida
Si scelgono K comuni in cui mettere lo sportello; ogni cittadino va al più vicino, in auto, sulle strade vere. Due obiettivi diversi, due modelli classici:
- il p-median minimizza il tempo medio pesato sulla popolazione: l’efficienza aggregata, il servizio per il cittadino tipico;
- il p-center minimizza il tempo massimo: nessuno troppo lontano, ovunque abiti.
Come metro di paragone prendiamo la politica più naturale e più usata: mettere gli sportelli negli otto capoluoghi storici di provincia — Cagliari, Sassari, Nuoro, Oristano, Olbia, Carbonia, Villacidro, Lanusei. Non è un fantoccio: è dove le sedi stanno davvero.
02Gli ingredienti
- I 376 comuni raggiungibili su strada (la Maddalena, senza collegamento stradale, resta fuori dal modello), per 1.451.954 residenti. Ogni comune è posizionato nel suo centro abitato, non nel baricentro geometrico del territorio: nei grandi comuni dell’interno il baricentro cade in montagna, e un motore di calcolo percorsi lo aggancia a una pista sconnessa restituendo tempi assurdi. Con il centro abitato, Armungia e Ballao distano quattordici minuti; col baricentro ne distavano centottantotto.
- La matrice dei tempi: tutte le coppie di comuni, calcolate da OSRM sulla rete stradale di OpenStreetMap.
- La matrice ISTAT del pendolarismo, 4,9 milioni di record, che dice quanta mobilità c’è davvero da servire: 712.294 sardi si spostano ogni giorno per lavoro o studio, e il 34,8% esce dal proprio comune.
03Il verdetto
Il primo risultato è una lode ai capoluoghi: sulla media sono già quasi imbattibili. Otto sportelli ottimizzati per il tempo medio fanno 21,5 minuti contro 22,4, un guadagno del quattro per cento — e lo ottengono con aggiustamenti fini, spostando Cagliari a Monserrato (più baricentrico nell’area metropolitana) e Lanusei a Bari Sardo. Il motivo è semplice: i capoluoghi sono cresciuti dove c’era la gente, e il p-median premia esattamente questo.
Gli stessi otto sportelli, spostati
Capoluoghi di provincia contro la disposizione che minimizza il tempo massimo
Vedi i dati in tabella (min)
| Capoluoghi | Ottimo caso peggiore | |
|---|---|---|
| Viaggio più lungo | 78,5 | 65,5 |
| Novantesimo percentile | 59,3 | 55,3 |
| Viaggio medio | 22,4 | 29,0 |
Proteggere chi sta peggio costa sei minuti e mezzo di media a tutti gli altri.
Elaborazione su tempi stradali OSRM e popolazione GeoNames
Il secondo risultato è meno lusinghiero. Sul caso peggiore i capoluoghi lasciano indietro l’interno: il comune messo peggio è Aritzo, nel cuore della Barbagia, a 78,5 minuti dallo sportello più vicino. Otto sportelli disposti per minimizzare il viaggio più lungo scendono a 65,5 minuti — meno 16,5 per cento — e per farlo abbandonano la costa: Samugheo, Bitti, Bosa, paesi che nessun organigramma sceglierebbe mai come sede.
Il p-median mette gli sportelli dove sono le persone. Il p-center li mette dove le persone non sono, perché è lì che manca tutto il resto.
Il prezzo di quella scelta è esplicito e va detto: la media sale da 22,4 a 29 minuti, e i residenti entro mezz’ora dallo sportello crollano dal 69,5 al 49,6 per cento. Non esiste la disposizione «giusta»: esiste quella che si è deciso di ottimizzare.
Quanti sportelli servono
Tempo medio (p-median) e tempo massimo (p-center) al crescere del numero di sportelli
Vedi i dati in tabella (min)
| Tempo medio | Tempo massimo | |
|---|---|---|
| 3 | 39,6 | 95,5 |
| 4 | 34,0 | 91,2 |
| 5 | 29,0 | 83,3 |
| 6 | 25,7 | 76,8 |
| 8 | 21,5 | 65,5 |
| 10 | 19,1 | 59,5 |
Le due curve non scendono insieme: raddoppiare gli sportelli da 5 a 10 dimezza quasi la media, ma taglia il massimo solo di un quarto.
Dodici modelli risolti all'ottimo su tempi stradali reali
E se gli sportelli fossero di più?
Ogni posizione è un modello risolto all'ottimo sui tempi stradali veri.
87,4% entro tre quarti d'ora — quanti sono i capoluoghi storici
Tutti gli scenari in tabella
| Sportelli | Tempo medio di accesso | |
|---|---|---|
| 3 | 39,6 min | il 58,6% dei sardi entro tre quarti d'ora |
| 4 | 34,0 min | il 67,7% entro tre quarti d'ora |
| 5 | 29,0 min | il 75,1% entro tre quarti d'ora |
| 6 | 25,7 min | 81,5% entro tre quarti d'ora |
| 8 | 21,5 min | 87,4% entro tre quarti d'ora — quanti sono i capoluoghi storici |
| 10 | 19,1 min | il 90,5% — poi la curva si appiattisce |
Elaborazione su 376 comuni e tempi OSRM
Il modello, per chi vuole la matematica
Due programmi lineari interi sugli stessi dati. Nel p-median la variabile yj ∈ {0,1} apre lo sportello nel comune j, e xij assegna il comune i allo sportello j:
min Σi Σj wi · tij · xij
t.c. Σj xij = 1, xij ≤ yj, Σj yj = K
con wi la popolazione e tij il tempo stradale. L’assegnamento è bipartito completo — ogni comune può raggiungere qualunque sportello aperto — così il modello è sempre ammissibile anche per K piccolo; il rilassamento continuo è quasi intero, e HiGHS lo chiude in pochi secondi.
Il p-center non si scrive con un massimo nell’obiettivo: si cerca il raggio minimo r per cui esiste una disposizione che copre tutti,
Σj : tij ≤ r yj ≥ 1 per ogni comune i, Σj yj = K
e lo si trova per bisezione sull’elenco ordinato dei tempi distinti. Ogni passo è un problema di sole 100 variabili binarie: Gurobi lo risolve istantaneamente. I candidati sono i cento comuni più popolosi, perché uno sportello regionale si mette in un centro, non in una frazione.
I modelli sono scritti per Gurobi; quando un’istanza supera il tetto della licenza gratuita viene riscritta in MPS e passata a HiGHS, open source. Tutti i numeri si rigenerano con l’uno o con l’altro.
04Dove il gioco finisce
La domanda è la popolazione residente: la matrice ISTAT del pendolarismo racconta la mobilità reale e motiva il problema, ma il modello pesa i residenti, non i pendolari — una variante pesata sui flussi sposterebbe gli sportelli verso l’asse di Cagliari. Ogni comune è schiacciato sul suo centro abitato, quindi le frazioni sparse contano come il capoluogo comunale. I tempi sono stime a flusso libero, senza traffico né orari dei traghetti. Il pendolarismo è del censimento 2011, la popolazione è una fotografia recente. E l’arcipelago della Maddalena resta fuori dal modello stradale, perché nessuna strada ci arriva. Quello che il caso misura, però, regge: i capoluoghi sardi sono un’ottima risposta alla domanda sbagliata, se la domanda che interessa è chi resta indietro.