La spesa ottima

Nel 1945 l’economista George Stigler si pose una domanda semplice e leggermente disperata: qual è la spesa minima che tiene in vita un uomo adulto, rispettando tutti i fabbisogni nutrizionali noti? Non esisteva ancora il simplesso: Stigler risolse “a occhio e buon senso” tra 77 alimenti, e arrivò a 39,93 dollari l’anno. Due anni dopo, il metodo del simplesso di Dantzig confermò che il suo errore era di pochi centesimi.¹

Il diet problem è diventato l’esercizio numero uno di ogni corso di ottimizzazione — e quasi sempre resta lì, un giocattolo da aula. Ma la domanda di Stigler è tornata attualissima: con l’inflazione alimentare degli ultimi anni, quanto costa davvero mangiare in modo corretto in Italia? E quanto del nostro carrello è abitudine, non necessità?

01Il problema

Vogliamo comporre la spesa settimanale di un adulto che:

• copra i fabbisogni dei LARN (Livelli di Assunzione di Riferimento per Nutrienti) della Società Italiana di Nutrizione Umana: energia, proteine, fibre, calcio, ferro, vitamina C e altri — 14 vincoli in tutto;
• costi il meno possibile ai prezzi correnti;
• resti mangiabile: nessun alimento può superare una quota massima delle calorie totali, perché la soluzione “solo avena e latte in polvere” è ottima sulla carta e immangiabile nella vita.

Il confronto è con il carrello medio di un adulto ricavato dalle statistiche sui consumi delle famiglie, che ai prezzi usati qui vale 62,40 € a settimana.

02I dati

Servono tre tabelle, tutte pubbliche:

1. Prezzi al dettaglio — medie nazionali per 22 alimenti di base (pasta, pane, latte, uova, legumi, ortaggi, frutta, carni, pesce azzurro, olio EVO…), dall’Osservaprezzi del MIMIT e dai prezzi al consumo ISTAT.
2. Composizione nutrizionale — per 100 g di ciascun alimento, dalle tabelle CREA di composizione degli alimenti.
3. Fabbisogni LARN — per un adulto di riferimento: 2.000 kcal, 50 g di proteine, 25 g di fibre, 1.000 mg di calcio, e così via.

I prezzi riportati in questo numero sono medie esemplificative assemblate per la dimostrazione: servono a mostrare il metodo. Il notebook allegato scarica i dati aggiornati dalle fonti citate, e i numeri cambiano — poco — con essi.

03Il modello

La formulazione è quella classica. Per ogni alimento i la variabile x_i è la quantità acquistata in ettogrammi a settimana:

min   Σ_i c_i · x_i
  t.c.   Σ_i a_ni · x_i ≥ b_n    per ogni nutriente n
         e_i · x_i ≤ β · E      per ogni alimento i
         x_i ≥ 0

dove c_i è il prezzo, a_ni il contenuto del nutriente n, b_n il fabbisogno settimanale, e_i le calorie dell’alimento ed E le calorie totali. Il parametro β è il vincolo di varietà: il tetto massimo di calorie che un singolo alimento può coprire. È la manopola che separa la matematica dalla cucina.

04La soluzione

In PuLP il modello sta in una ventina di righe:

import pulp

m = pulp.LpProblem("dieta_ottima", pulp.LpMinimize)
x = {i: pulp.LpVariable(i, lowBound=0) for i in alimenti}

# obiettivo: costo della spesa settimanale
m += pulp.lpSum(prezzo[i] * x[i] for i in alimenti)

# fabbisogni LARN (settimanali)
for n in nutrienti:
    m += pulp.lpSum(contenuto[n][i] * x[i] for i in alimenti) >= fabbisogno[n]

# vincolo di varietà: nessun alimento oltre il 25% delle calorie
for i in alimenti:
    m += kcal[i] * x[i] <= 0.25 * kcal_totali

m.solve()

Con β al 25% la spesa ottima costa 43,10 € a settimana: tutti e 14 i vincoli nutrizionali sono rispettati, nessun alimento domina il piatto.

Dove finiscono i soldi? Il modello ridisegna il carrello: giù la carne, su legumi e cereali. La verdura resta — ma cambia composizione, verso gli ortaggi con il miglior rapporto nutrienti/prezzo.

E che cosa si mangia, in concreto? Questa è la dieta ottima in grammi al giorno — riconoscibilmente mediterranea, senza che nessuno l’abbia chiesto al modello:

05Il prezzo della varietà

La parte più interessante non è il minimo, ma la sua sensibilità. Stringendo β — cioè pretendendo una dieta sempre più varia — il costo sale, e il modello ci dice esattamente di quanto:

Fra il 40% e il 25% la varietà costa pochi euro. Sotto il 20% ogni punto di β si paga caro: i vincoli nutrizionali costringono il modello verso alimenti sempre meno efficienti. A un certo punto il problema diventa inammissibile: con 22 alimenti non esiste una dieta in cui nessuno superi il 10% delle calorie.

La lezione di ottimizzazione del mese: il valore di un vincolo si misura in euro. Il prezzo-ombra della varietà è quasi zero finché è ragionevole, ed esplode quando diventa ideologia.

06Quanto si risparmia, e i limiti

19,30 € a settimana sono circa 1.000 € l’anno a persona: non è un dettaglio. Ma il numero va maneggiato con onestà:

• il carrello medio include gusti, marche e comodità che il modello ignora di proposito: il risparmio “vero” per una famiglia reale sta fra il 10% e il 20%, non al 31%;
• i prezzi medi nazionali nascondono forti differenze territoriali — l’ISTAT pubblica gli indici per capoluogo, e rifare il conto per la propria città è l’esercizio perfetto per il lettore;
• una dieta è anche cultura e piacere: il modello propone, la tavola dispone.

Il notebook completo, con i dati e il codice per riprodurre ogni figura, è nella cartella del numero. Se lo rifate con i prezzi della vostra città, scriveteci: pubblichiamo i confronti nel prossimo numero.