Il voto che pesa il doppio
Un voto in Valle d'Aosta vale 2,6 volte uno in Sicilia. Abbiamo cercato un modo più equo di dividere i 196 seggi del Senato — e abbiamo scoperto che non esiste.
- Metodo
- Allocazione intera vincolata e paradossi del riparto
- Strumenti
- Python, Gurobi, HiGHS
- Fonte dati
- ISTAT — popolazione residente per età, sesso e stato civile (POSAS) · Costituzione italiana, art. 57 (come modificato dalla L. cost. 1/2020)
- Risultato
- 2,60× — quanto pesa un voto in Valle d'Aosta rispetto a uno in Sicilia
Questo caso non propone un miglioramento. Il modello dimostra che come si fa oggi è già la scelta migliore possibile: si legge per capire perché, non per cambiare qualcosa. Gli altri casi già ottimi →
Il Senato ha 196 seggi da distribuire in Italia, e la regola per farlo sta in un solo articolo della Costituzione. Il 57 dice di dividerli fra le regioni «in proporzione alla loro popolazione», con un metodo preciso — quozienti interi e più alti resti — e poi si contraddice tre volte di fila: la Valle d’Aosta ha un senatore, il Molise due, nessun altro meno di tre.
Sembrano dettagli. Non lo sono. La popolazione della Valle d’Aosta le darebbe diritto a 0,41 seggi; ne riceve uno. Quella della Basilicata a 1,76; ne riceve tre. E alla fine un abitante della Valle d’Aosta è rappresentato da un senatore ogni 122.532 persone, mentre un siciliano da uno ogni 319.159.
Il suo voto pesa due volte e mezzo il nostro.
La domanda naturale è: si può fare meglio? Abbiamo provato con tutti i metodi classici e con l’ottimizzazione vera. La risposta ci ha sorpresi.
Riprendendo i 196 seggi e ridistribuendoli nel modo che rende il peso dei voti il più uguale possibile — rispettando i minimi della Costituzione — quanti seggi cambiano regione?
Prova a dire un numero
Nessuno
Il riparto costituzionale è già esattamente l'ottimo. Regione per regione, seggio per seggio.
01La sfida
Ripartire dei seggi è il più antico problema di allocazione intera che esista: dividere un numero fisso di cose indivisibili in proporzione a una quantità che non sarà quasi mai divisibile. Qualcuno riceverà più della sua quota, qualcuno meno, e il metodo decide chi.
Qui il problema è però vincolato, ed è questo a renderlo interessante. I tre minimi costituzionali non sono aggiustamenti marginali: sono decisioni che sottraggono seggi al resto del paese prima ancora che la proporzione cominci a lavorare. Con ventuno enti in gioco — le diciannove regioni più le province autonome di Trento e Bolzano, che l’articolo 57 tratta separatamente — i seggi bloccati dai minimi sono sei.
Abbiamo messo a confronto otto ripartizioni diverse: quella costituzionale, i quattro metodi classici dei divisori, e tre ottimi calcolati risolvendo il problema di allocazione — minimizzare lo scarto massimo dalla quota ideale, minimizzare la somma degli scarti, e rendere il più uguale possibile il peso di un voto.
02Gli ingredienti
- La popolazione residente ISTAT al 1° gennaio, dal 2019 al 2025, presa a livello provinciale. Il dettaglio provinciale non è un vezzo: un file regionale non separerebbe Trento da Bolzano, che per la Costituzione sono due enti distinti.
- Due trappole nei file, entrambe capaci di rovinare tutto in silenzio. La colonna dell’età contiene un valore fittizio, 999, che porta il totale della provincia: sommando tutte le righe l’Italia risulta di 117,9 milioni di abitanti invece di 58,9. E la tabella dei codici territoriali ISTAT non è UTF-8 ma Latin-1.
- Una precisazione onesta: l’articolo 57 parla dell’ultimo censimento generale, noi usiamo l’anagrafe della popolazione residente, perché è aggiornata e pubblicata di continuo. Questo caso risponde quindi alla domanda «come sarebbe il riparto sulla popolazione di oggi», non riproduce il decreto in vigore.
03Il verdetto
Quanti abitanti per un senatore
Popolazione residente al 1° gennaio 2025 divisa per i seggi assegnati dall'articolo 57
Vedi i dati in tabella (mila)
| Abitanti per senatore | |
|---|---|
| Valle d'Aosta | 122,5 |
| Molise | 143,9 |
| Basilicata | 176,7 |
| Bolzano | 179,9 |
| Trento | 182,2 |
| Umbria | 283,8 |
| Marche | 296,1 |
| Puglia | 298,3 |
| Friuli-Venezia Giulia | 298,3 |
| Liguria | 302,0 |
| Veneto | 303,3 |
| Piemonte | 303,7 |
| Toscana | 304,8 |
| Calabria | 305,8 |
| Campania | 310,1 |
| Sardegna | 312,5 |
| Lombardia | 313,6 |
| Lazio | 317,2 |
| Abruzzo | 317,3 |
| Emilia-Romagna | 318,7 |
| Sicilia | 319,2 |
La media nazionale è di 300,7 mila abitanti per senatore. I primi sei sono gli enti a cui il seggio è assegnato da un minimo costituzionale, non dalla popolazione: sono loro, e soltanto loro, a stare fuori scala.
Elaborazione su popolazione residente ISTAT
Il grafico dice quasi tutto. Quindici enti su ventuno stanno stretti attorno alla media nazionale, entro pochi punti percentuali: l’aritmetica del riparto funziona benissimo. I sei che sfondano il grafico sono esattamente quelli a cui la Costituzione garantisce un pavimento.
E qui arriva il risultato che non ci aspettavamo. Abbiamo calcolato l’allocazione che minimizza il rapporto fra il più e il meno rappresentato — il modo più diretto di dire «rendiamo il peso dei voti uguale» — tenendo fermi i minimi. Coincide con quella costituzionale. Ente per ente, seggio per seggio. Non un solo seggio si muove.
Cercavamo margine nell’aritmetica e non ce n’è. La disuguaglianza del Senato non è un errore di calcolo: è una scelta, e sta un piano sopra.
E i metodi alternativi? Tre dei quattro classici — Sainte-Laguë, Adams, Huntington-Hill — restituiscono la stessa identica ripartizione. Solo D’Hondt se ne discosta, e lo fa nella direzione che gli è nota da sempre: favorisce le regioni grandi, e il rapporto fra i pesi peggiora a 3,25.
Il dettaglio più istruttivo però è un altro. Gli ottimi che minimizzano lo scarto dalla quota ideale trovano davvero ripartizioni diverse, e sulla loro misura fanno meglio. Ma peggiorano il peso del voto: 3,02 e 3,45 invece di 2,60.
Otto modi di dividere gli stessi 196 seggi
Ogni riga rispetta i minimi costituzionali, tranne l'ultima. Il risultato mostrato è quanto pesa il voto più rappresentato rispetto al meno rappresentato.
il riparto in vigore
Tutti gli scenari in tabella
| Criterio | Rapporto fra i pesi | |
|---|---|---|
| Costituzione (quozienti e resti) | 2,60× | il riparto in vigore |
| Ottimo: voti il più uguali possibile | 2,60× | identico al precedente, seggio per seggio |
| Sainte-Laguë / Adams / Huntington-Hill | 2,60× | tre metodi diversi, stessa risposta |
| Ottimo: minima somma degli scarti | 3,02× | sposta 4 seggi e peggiora l'equità |
| D'Hondt | 3,25× | favorisce le regioni grandi |
| Ottimo: minimo scarto massimo | 3,45× | il peggiore di tutti sul peso del voto |
| Senza i minimi costituzionali | 1,20× | ma la Valle d'Aosta resta senza senatori |
Otto allocazioni calcolate sulla popolazione ISTAT 2025
Togliere i minimi porta il rapporto a 1,20: quasi perfetta uguaglianza. Al prezzo di lasciare la Valle d’Aosta senza nessun senatore. È esattamente per questo che i minimi esistono, ed è per questo che il numero 2,60 non è un difetto da correggere ma un prezzo da discutere.
04Il metodo però non è innocente
Che il riparto sia ottimo non vuol dire che la regola sia buona. Il metodo dei più alti resti ha un difetto famoso, scoperto negli Stati Uniti nel 1880: ingrandire l’assemblea può togliere un seggio a qualcuno.
Facendo crescere il Senato da 100 a 300 seggi sulla popolazione italiana di oggi, succede nove volte. Il caso più vicino alla realtà è a 186 seggi, dove la Calabria scende da sei a cinque. Il Senato ne ha 196.
Non è una curiosità accademica: se un domani si rimettesse mano al numero dei parlamentari — cosa già successa nel 2020 — il metodo scritto in Costituzione può restituire risultati che nessuno saprebbe difendere davanti a un elettore calabrese.
Il modello, per chi vuole la matematica
Siano pi la popolazione, P il totale, S = 196 i seggi e qi = piS/P la quota ideale. Sia fi il minimo costituzionale: 1 per la Valle d’Aosta, 2 per il Molise, 3 per tutti gli altri.
Il metodo costituzionale. Si fissano i seggi imposti, si ripartisce il resto per quozienti interi e più alti resti, e chi finisce sotto il proprio minimo viene fissato a quel minimo e tolto dal calcolo — ripetendo finché tutti i pavimenti reggono. L’iterazione non è un dettaglio: la scorciatoia ovvia (bloccare chi sta sotto e togliere i seggi in eccesso a chi ha il resto più piccolo) produce allocazioni che sbagliano fino a 1,4 seggi sulle regioni grandi. Ci siamo cascati alla prima stesura.
Gli ottimi da quota. Due programmi interi, entrambi con Σsi = S e si ≥ fi:
min maxi |si − qi| e min Σi |si − qi|
L’ottimo del peso del voto non ha bisogno di nessun risolutore. Il rapporto è (maxi pi/si) / (minj pj/sj), e il denominatore è inchiodato dal minimo della Valle d’Aosta: minimizzare il rapporto vuol dire minimizzare il massimo. Ma per un obiettivo t, l’ente i ha bisogno di almeno ⌈pi/t⌉ seggi (e comunque del suo minimo), e t è raggiungibile se e solo se quei minimi stanno dentro S. La condizione è monotona in t: una bisezione trova l’ottimo esatto in una ventina di righe.
Sullo sfondo c’è il teorema di Balinski e Young (1982): nessun metodo di riparto può insieme rispettare la quota — non dare mai a un ente più o meno dei suoi interi vicini — ed essere immune dai paradossi. I più alti resti rispettano la quota e pagano con i paradossi; i metodi dei divisori fanno il contrario. La Costituzione ha scelto la quota.
05Dove il gioco finisce
Usiamo l’anagrafe residenti e non il censimento generale citato dall’articolo, quindi questo è un esercizio sulla popolazione di oggi, non il decreto in vigore: fra 2019 e 2025 il riparto si sposta di un solo seggio, dalla Sicilia al Veneto, quindi la differenza c’è ma è piccola. I quattro seggi dell’estero restano fuori, come li lascia fuori l’articolo 57.
Il rapporto fra i pesi è una misura estrema, e come tutte le misure estreme dipende da un caso solo — la Valle d’Aosta. Altri indici di disuguaglianza classificherebbero le otto allocazioni in un altro ordine, ed è esattamente per questo che riportiamo anche la somma e il massimo degli scarti: nessun indice è quello giusto in assoluto. La ricerca del paradosso dell’Alabama fa variare il numero dei seggi tenendo fermi i minimi, che è quello che farebbe una riforma del numero dei parlamentari, ma una riforma vera potrebbe toccare anche quelli.
E soprattutto: il riparto è solo il primo passo. Il sistema elettorale che trasforma i seggi in senatori ha effetti distributivi suoi, più grandi di tutto quello di cui abbiamo parlato qui. Su quelli l’ottimizzazione non ha niente da dire — ma almeno, su questo primo passo, adesso sappiamo che non c’era niente da guadagnare.